Οι περισσότεροι άνθρωποι δεν συνειδητοποιούν την πλήρη δύναμη του αριθμού εννέα. Πρώτον, είναι το μεγαλύτερο μονοψήφιο στο βασικό σύστημα δεκάδων. Τα ψηφία του βασικού συστήματος αριθμών δέκα είναι 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9. Αυτό μπορεί να μην φαίνεται πολύ, αλλά είναι μαγικό για τον πίνακα πολλαπλασιασμού του εννιά. Για κάθε γινόμενο του εννέα πίνακα πολλαπλασιασμού, το άθροισμα των ψηφίων του γινόμενου είναι εννέα. Ας κατέβουμε στη λίστα. 9 φορές το 1 είναι ίσο με 9, το 9 επί το 2 είναι ίσο με 18, το 9 επί το 3 είναι ίσο με 27 και ούτω καθεξής για τα 36, 45, 54, 63, 72, 81 και 90. Όταν προσθέσουμε τα ψηφία του γινόμενο, όπως 27, το άθροισμα είναι εννέα, δηλαδή 2 + 7 = 9. Τώρα ας επεκτείνουμε αυτή τη σκέψη. Θα μπορούσε να ειπωθεί ότι ένας αριθμός διαιρείται ομοιόμορφα με το 9 εάν τα ψηφία αυτού του αριθμού αθροίζονται στο εννέα; Τι θα λέγατε για 673218; Τα ψηφία αθροίζονται σε 27, τα οποία αθροίζονται σε 9. Η απάντηση στο 673218 διαιρούμενο με το 9 είναι 74802 άρτια. Αυτό λειτουργεί κάθε φορά; Έτσι φαίνεται. Υπάρχει κάποια αλγεβρική έκφραση που θα μπορούσε να εξηγήσει αυτό το φαινόμενο; Αν είναι αλήθεια, θα υπήρχε μια απόδειξη ή θεώρημα που να το εξηγεί. Χρειαζόμαστε αυτό, για να το χρησιμοποιήσουμε; Φυσικά και όχι!
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το magic 9 για να ελέγξουμε μεγάλα προβλήματα πολλαπλασιασμού όπως 459 επί 2322; Το γινόμενο 459 επί 2322 είναι 1.065.798. Το άθροισμα των ψηφίων του 459 είναι 18, δηλαδή 9. Το άθροισμα των ψηφίων του 2322 είναι 9. Το άθροισμα των ψηφίων του 1.065.798 είναι 36, δηλαδή 9.
Αποδεικνύει αυτό ότι η δήλωση ότι το γινόμενο 459 επί 2322 είναι ίσο με 1.065.798 είναι σωστή; Όχι, αλλά μας λέει ότι δεν είναι λάθος. Αυτό που εννοώ είναι ότι αν το άθροισμα των ψηφίων της απάντησής σας δεν ήταν 9, τότε θα ξέρατε ότι η απάντησή σας ήταν λάθος.
Λοιπόν, όλα αυτά είναι καλά και καλά αν οι αριθμοί σας είναι τέτοιοι που τα ψηφία τους αθροίζονται σε εννέα, αλλά τι γίνεται με τον υπόλοιπο αριθμό, εκείνους που δεν αθροίζονται σε εννέα; Μπορούν τα μαγικά εννιά να με βοηθήσουν ανεξάρτητα από τους αριθμούς που είμαι πολλαπλάσιος; Βάζετε στοίχημα ότι μπορείτε! Σε αυτή την περίπτωση δίνουμε προσοχή σε έναν αριθμό που ονομάζεται υπόλοιπο 9s. Ας πάρουμε 76 επί 23 που είναι ίσο με 1748. Το άθροισμα των ψηφίων στο 76 είναι 13, το άθροισμα πάλι είναι 4. Επομένως, το υπόλοιπο 9 για το 76 είναι 4. Το άθροισμα των ψηφίων του 23 είναι 5. Αυτό κάνει το 5 το υπόλοιπο 9 του 23. Σε αυτό το σημείο πολλαπλασιάστε τα δύο υπολείμματα του 9, δηλαδή 4 επί 5, που ισούται με 20 των οποίων τα ψηφία άθροισμα είναι 2. Αυτό είναι το υπόλοιπο 9 s που ψάχνουμε όταν αθροίσουμε τα ψηφία του 1748. Σίγουρα τα ψηφία αθροίζονται με 20, το άθροισμα πάλι είναι 2. Δοκιμάστε το μόνοι σας με το δικό σας φύλλο εργασίας με προβλήματα πολλαπλασιασμού.
Ας δούμε πώς μπορεί να αποκαλύψει μια λάθος απάντηση. Τι θα λέγατε για 337 φορές 8323; Θα μπορούσε η απάντηση να είναι 2.804.861; Φαίνεται σωστό, αλλά ας εφαρμόσουμε τη δοκιμή μας. Το άθροισμα των ψηφίων του 337 είναι 13, το άθροισμα πάλι είναι 4. Άρα το υπόλοιπο του 9 του 337 είναι 4. Το άθροισμα των ψηφίων του 8323 είναι 16, το άθροισμα πάλι είναι 7. 4 επί το 7 είναι 28, που είναι 10, το άθροισμα πάλι είναι 1. Το υπόλοιπο 9 της απάντησής μας στο 337 επί 8323 πρέπει να είναι 1. Τώρα ας αθροίσουμε τα ψηφία του 2.804.861, που είναι 29, που είναι 11, άθροισμα πάλι είναι 2. Αυτό μας λέει ότι το 2.804.861 δεν είναι η σωστή απάντηση στο 337 επί 8323. Και σίγουρα δεν είναι. Η σωστή απάντηση είναι 2.804.851, τα ψηφία του οποίου αθροίζονται σε 28, που είναι 10, άθροισμα πάλι είναι 1. Να είστε προσεκτικοί εδώ. Αυτό το κόλπο αποκαλύπτει μόνο μια λάθος απάντηση. Δεν αποτελεί βεβαιότητα για μια σωστή απάντηση. Να ξέρετε ότι ο αριθμός 2.804.581 μας δίνει το ίδιο άθροισμα με τον αριθμό 2.804.851, αλλά ξέρουμε ότι το δεύτερο είναι σωστό και το πρώτο όχι. Αυτό το κόλπο δεν εγγυάται ότι η απάντησή σας είναι σωστή. Είναι απλώς μια μικρή διαβεβαίωση ότι η απάντησή σας δεν είναι απαραίτητα λάθος.
Τώρα για όσους τους αρέσει να παίζουν με μαθηματικά και μαθηματικές έννοιες, το ερώτημα είναι πόσο από αυτό ισχύει για το μεγαλύτερο ψηφίο σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα βασικών αριθμών. Γνωρίζω ότι οι πολλαπλασιασμοί του 7 στο σύστημα αριθμών βάσης 8 είναι 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61 και 70 στη βάση οκτώ (Βλ. σημείωση παρακάτω). Όλα τα αθροίσματα των ψηφίων τους είναι άθροισμα 7. Μπορούμε να το ορίσουμε σε μια αλγεβρική εξίσωση. (b-1) *n = b*(n-1) + (bn) όπου b είναι ο βασικός αριθμός και n είναι ένα ψηφίο μεταξύ 0 και (b-1). Άρα στην περίπτωση της βάσης δέκα, η εξίσωση είναι (10-1)*n = 10*(n-1)+(10-n). Αυτό λύνει σε 9*n = 10n-10+10-n που ισούται με 9*n είναι ίσο με 9n. Ξέρω ότι αυτό φαίνεται προφανές, αλλά στα μαθηματικά, αν μπορείτε να κάνετε και τις δύο πλευρές να λύσουν την ίδια έκφραση, είναι καλό. Η εξίσωση (b-1)*n = b*(n-1) + (bn) απλοποιείται σε (b-1)*n = b*n – b + b – n που είναι (b*nn) που είναι ίση έως (b-1)*n. Αυτό μας λέει ότι οι πολλαπλασιασμοί του μεγαλύτερου ψηφίου σε οποιοδήποτε βασικό αριθμητικό σύστημα ενεργούν το ίδιο με τους πολλαπλασιασμούς του εννέα στο βασικό σύστημα αριθμών δέκα. Το αν ισχύει και το υπόλοιπο είναι στο χέρι σας να το ανακαλύψετε. Καλώς ήρθατε στον συναρπαστικό κόσμο των μαθηματικών.
Σημείωση: Ο αριθμός 16 στη βάση οκτώ είναι το γινόμενο του 2 επί του 7 που είναι 14 στη βάση δέκα. Το 1 στη βάση 8 νούμερο 16 βρίσκεται στη θέση 8s. Ως εκ τούτου, το 16 στη βάση 8 υπολογίζεται στη βάση δέκα ως (1 * 8) + 6 = 8 + 6 = 14. Τα διαφορετικά συστήματα αριθμών βάσης είναι ένας άλλος τομέας των μαθηματικών που αξίζει να διερευνηθεί. Υπολογίστε ξανά τα άλλα πολλαπλάσια του επτά στη βάση οκτώ στη βάση δέκα και επαληθεύστε τα μόνοι σας.